Maths approfondies

Les suites :

• Les suites usuelles : suite arithmétique, suite géométrique, suite arithmético-géométrique, suite récurrente linéaire d’ordre 2
• Convergence et divergence : théorème d’encadrement, théorème de la limite monotone
• Les suites adjacentes
• Les négligeabilités et les équivalences

Les fonctions :

• Les fonctions trigonométriques et leurs principales propriétés
• Les fonctions usuelles
• Limite et continuité d’une fonction en un point, étude globale sur un intervalle :
  • Les fonctions paires, impaires, majorées, minorées, bornées
  • Les grands théorèmes : limite monotone, valeurs intermédiaires et bijection
• Dérivées d’une fonction : dérivation simple, dérivées successives, convexité, théorème de Rolle, égalité et inégalité des accroissements finies, théorème du prolongement de la dérivée
• Représentation graphique des fonctions
• Les négligeabilités et les équivalences
• Les formules de Taylor : formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange.
• Les développements limités

Les intégrales :

• Les Sommes de Riemann
• Propriétés de l’intégrale : linéarité, positivité, croissance et relation de Chasles
• Les techniques de calcul : primitivation, intégration par parties et changement de variable

Les séries :

• Convergence et divergence d’une série
• Calcul de la somme d’une série
• Les séries usuelles : séries géométrique, série exponentielle et série de Riemann
• Les théorèmes de comparaison pour les séries à termes positifs

Les grands concepts probabilistes :

• Les événements
• Les coefficients binomiaux
• Les probabilités conditionnelles
• L’indépendance en probabilité
• Les grands théorèmes : probabilités composées, probabilités totales, formule de Bayes
• Le théorème de la limite monotone et ses corollaires

Les variables aléatoires réelles :

• Les variables aléatoires discrètes : définition, espérance, variance et théorème de transfert
• Les variables aléatoires discrètes usuelles finies : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale
• Les variables aléatoires discrètes usuelles infinies : loi géométrique, loi de Poisson

Les systèmes linéaires :

• Système homogène et système de Cramer
• Résolution par la méthode du pivot de Gauss

Le calcul matriciel :

• Matrices carrées classiques : les matrices triangulaires, les matrices diagonales et la matrice identité.
• Transposée d’une matrice et matrices symétriques
• Opérations matricielles : somme, produit, puissance
• Inversibilité des matrices

Les espaces vectoriels :

• Notion de sous-espace vectoriel : familles libres et génératrices, base
• Espaces vectoriels de dimension finie : dimension, caractérisation des bases, rang d’une famille finie de vecteurs, théorème de la base incomplète
• Somme et somme directe de deux sous-espaces vectoriels, notion et caractérisation de la supplémentarité

Les applications linéaires :

• Cas général : la composée, les isomorphismes, les endomorphismes, le noyau et l’image d’une application linéaire, les projecteurs
• Cas de la dimension finie : le rang d’une application linéaire et le théorème du rang
• Représentation matricielle : interprétation matricielle de l’image d’un vecteur par une application linéaire, lien entre produit matriciel et composition des applications linéaires, rang d’une matrice
• Cas des endomorphismes et des matrices carrées : formule du binôme, lien entre automorphisme et matrice inversible, polynôme d’endomorphisme et de matrice carrée et polynôme annulateur

Les principes généraux du langage Python :

• Les différents types d’objets
• Les structures de contrôle : if et booléens
• Les boucles for et while
• Les bibliothèques et modules classiques : numpy, numpy.random, numpy.linalg, matplotlib.pyplot

L’application à des problèmes concrets :

• Représentation graphique d’une fonction
• Calcul des termes et représentation graphique d’une suite
• Calcul de valeurs approchées de la limite d’une suite ou de la somme d’une série
• Calcul approché de la racine d’une équation du type f(x) = 0
• Valeur approchée d’une intégrale par la méthode des rectangles
• Simulation de phénomènes aléatoires

Une journée consacrée à la résolution des sujets d’annales de concours pour mettre en application les grands thèmes vus durant la semaine.